Science: 传热中的反宇称-时间对称

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非厄密（non-Hermitian）物理在对与环境间存在能量交换的开放系统的研究中取得了丰富的进展。具有宇称-时间（parity-time）对称或反宇称-时间（anti-parity-time）对称的电磁波和声波展现了一系列新奇现象。然而，此前对这类对称性的认识都根深蒂固地局限在波物理领域中，没有意识到可能存在其他的物理框架。2019年4月，新加坡国立大学 C.-W. Qiu组、华中科技大学祝雪丰组、斯坦福大学Shanhui Fan组在Science 上发表了题为 “Anti–parity-time symmetry in diffusive systems” 的论文，成功在波动系统外预言并观测到了传热中的反宇称-时间对称，展现了一个全新的非厄密物理研究平台。

现实的物理系统一般或多或少都存在与环境间的能量交换，其中最常见的形式就是热耗散。在很多情况下，尽管这类过程的效应不可忽略，但严格构建其物理模型相当于把环境也完整包括在系统中，这既缺乏可行性也不必要。量子力学中一个简单有效的处理方法是把环境的影响归纳为系统哈密顿量中的参数。由此得到的等效哈密顿量不再具备传统要求的厄密性，因此对应的本征值也往往并非实数。粗略地说，这类非厄密哈密顿本征值中的虚部对应着系统本征态的衰减率。上世纪末的一个重要发现是当一个非厄密哈密顿量在宇称算符（P: parity inversion）和时间反演算符（T: time reversal）的联合操作下保持不变时，其本征值可以为纯实数。这意味着系统尽管与环境交换能量，但其本征态演化依然类似于一个理想封闭系统，不随时间衰减或增强，此时本征态受与哈密顿量相同的宇称-时间（PT）对称性保护。

图1. 反宇称-时间对称扩散系统。A研究非厄密物理的两条路径：从零衰减的波动系统出发，或从零频率的扩散系统出发；B热对流研究在移动背景中的温度场演化；C, D 二维（C）和三维（D）反宇称-时间对称传热系统；E 系统在无耦合极限下的特征值

近年来PT对称的概念在光子学等波物理领域获得了巨大的成功，研究者们在PT对称的光学、声学系统中实验观测到了激光、反激光、单向透明、高效无线传能等独特现象。这些系统的构造方法一般是基于一个封闭无衰减的厄密系统，再引入等量的损耗和增益（对应于正和负的衰减率，参见图1A中的蓝点）作为系统的非厄密成分。那么，如果把这一过程反过来，从本质上就是非厄密的系统出发，再引入厄密成分的话结果会怎样呢（图1A中的红点）？既然非厄密成分对应的是系统的耗散，那么本质非厄密的系统就应该满足其动力学演化为一个纯耗散过程。这就是我们熟悉的物质或热量的扩散过程。但尽管非厄密性本质上往往对应于能量耗散，此前却没有工作直接研究扩散系统的非厄密物理，用等效哈密顿量描述传热等扩散行为的尝试也近乎空白。本文首次运用非厄密物理的相关概念建立了耦合对流传热系统的模型，在其中构造并实验观测到了反宇称-时间（APT）对称及相关现象。

热传导是固体中的基本传热形式，满足扩散方程。如果用等效哈密顿量描述其温度场演化的话，可以发现其本征值是一个纯虚数，本征频率为零。热对流则是移动物质中的基本传热形式。根据常识，温度场往往跟随着移动的背景做整体移动（图1B左），因此我们才可以用风扇带走热量实现降温。通过分析这一过程对应的对流-扩散方程可以发现，这种整体移动的效应实际上给原本是纯耗散的系统演化引入了振荡效应或非零的特征频率。因此，对流传热系统天然就符合上述第二种研究非厄密物理的路径，其中的对流项和扩散项分别对应哈密顿量中的厄密和非厄密部分。基于这个新认识，PT对称相关的概念也可以找到实际的物理对应，只不过我们会发现在传热中哈密顿量在PT算符映射下会改变符号，也即满足APT对称。有趣的是，在APT传热系统中，温度场不但可能表现出常见的随背景移动效果，也能在移动背景中保持静止（图1B中），甚至反向于背景移动（图1B右）。

APT对称的性质相当于把PT对称中的所有量乘以虚数单位i，从而交换实部和虚部。在波动系统中，要构造严格的APT对称需要同时存在正负特征频率，以及纯虚数的耦合系数，实际困难很大。现有实验实现的APT波动系统都需要对场进行后处理，而不是直接满足对称性。在传热系统中这些问题都非常自然地得到了解决，因为正负的特征频率体现在对流项上就是向相反方向移动的背景，而纯虚数的耦合系数就是通过热传导进行的能量交换。可以证明，图1C, D中的简单构造就满足严格的APT对称。

图2.二维APT对称系统的本征值和本征模式。A 本征值虚部的相反数，对应本征衰减率；B 本征值实部，对应本征频率；C本征模式，两渠道中的温度分布

对于图1C, D中的系统，温度场演化的本征值和本征态都可以直接理论计算得到。结果显示系统在不同的背景速度v下表现出两个不同的相。在低速下，系统受APT对称保护，本征值为负的纯虚数，对应本征态在空间中保持静止。当v超过一个临界速度之后，系统发生APT对称破缺，本征值出现非零的实部，对应本征态在空间中移动。这些预测得到了二维数值模拟的证实。对图1C中的二维系统左右施加周期性边界条件后，有限元模拟得到的本征值和理论结果相符，相变发生的奇异点（exceptional point）位置基本吻合（图2A, B）。模拟获得的本征态温度分布也符合理论解，观察可见随着速度的增大，在对称相中两个温度场都保持静止，但之间形成了逐渐接近π/2的相位差（图2C中I, I’, II, II’）。在对称破缺相中，不论如何选取规范，至少存在一个温度场其正向和反向波解的大小不同，也就必然存在温度场的整体移动（图2C中IV）。

图3. 三维APT系统中温度场演化，外侧两列为温度场分布，中央两列为最大温度点的轨迹

APT传热系统的性质可以通过温度场随时间的演化方式更直观地观察到。考虑图1D中的两个热耦合的环状渠道，其中物质以相同转速在顺时针和逆时针方向移动，那么在环平面上引入线性温度梯度作为初始条件就可以激发和图2C中相同的本征态。如果两环上的初始温度梯度相同，则对应v = 0时的偶模式，如果相反则对应奇模式。这种初始条件保证了两环上的温度场T1和T2中各自始终只有一个极大值点，因此可以直接追踪max(T1) 和max(T2)的位置变化来反映温度场的移动。由图3A, B可见，处于低速的对称保护相下，最大温度点都只从初始位置偏移了一个小角度之后就固定不动了，而图3C中高速对称破缺相下的温度场则一直在整体移动，方向与各自所在圆环的旋转方向一致。这和理论及二维模拟计算得到的本征态行为是一致的。有意思的是，在图2A中，奇模式处在本征值虚部的上分支（I’），似乎应该演化到同样在上分支的II’态，并具有如图2C所示的大于π/2的相位差。而图3A, B中央两列显示，对应偶模式和奇模式的两个初始条件在低速下达到的终态有相同的T1和T2间相位差，也即都演化到了图2A中下分支的II态。这一现象体现了非厄密系统的特性，即上下分支上的本征态之间并非正交的。所以奇模式的初态I’同时有II态和II’态的分量，由于II’的衰减率更大，所以最后观察到的态还是II态。另外值得一提的是，模拟结果显示假如采用非对称的初始条件，例如一个环上的初始温度梯度大于另一环上的，那么在APT对称破缺相还是可以观察到两个温度场的移动。但此时可能出现两个场的旋转方向同为顺时针的情况，也即一个环上的温度场逆向于环本身的移动方向。

图4. 实验实现APT对称系统。A 给系统施加竖直方向的初始温度梯度；B 进行实验；C–F 测量得到的环1上温度分布；G–I 温度偶极子朝向的演化

本文设计的APT对称系统只需要用低廉的日常材料在传统机械平台上即可构造完成。如图4A所示，两个塑料制的圆环连接在两个低速电机上，圆环之间涂了一层润滑膏。可以先使它们接触一个上端冷、下端热的铜板从而获得初始温度梯度。此后撤掉铜板，使圆环隔着润滑膏相互靠拢对齐，再开启电机即实现了图3中所模拟的相同过程。观察图4C–F中由红外热成像仪拍摄到的温度场，以及图4G–I中由这些温度场计算出的温度梯度朝向（基于与电偶极子相似的计算方法，称为温度偶极子朝向），可以再次验证理论所预测的相变现象。

本文工作显示了传热系统作为实现APT对称平台的天然优势，由于不需要引入增益，其对材料的要求甚至低于以往各类PT对称系统的要求。研究为强散射体系、质量输运和热传导等扩散系统的研究开辟一个新的领域，为对称性理论延伸到波动体系之外其他体系提供了一种全新的范式。

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